MyPhysicsLab – Double Pendulum

This is a simulation of a double pendulum. For large motions it is a chaotic system, but for small motions it is a simple linear system.
You can change parameters in the simulation such as mass, gravity, and length of rods (enable the "show controls" checkbox). You can drag the pendulum with your mouse to change the starting position.


คลิกเข้าไปทดลอง  คลิกค่ะ

ทดลองไม่ได้ให้ Download  มา setup ที่เครื่องของท่านก่อนครับ Download จากฟิสิกส์ราชมงคล

When the angles are small in the Double

For small angles, a pendulum behaves like a linear system (see

 Pendulum, the system behaves like the linear Double Spring. In the graph, you can see similar Lissajous curves being generated. This is because the motion is determined by simple sine and cosine functions.

For large angles, the pendulum is non-linear and the phase graph becomes much more complex. You can see this by dragging one of the masses to a larger angle and letting go.

We regard the pendulum rods as being massless and rigid. We regard the pendulum masses as being point masses. The derivation of the equations of motion is shown below, using the direct Newtonian method.

Kinematics of the Double Pendulum

double pendulum variables

Kinematics means the relations of the parts of the device, without regard to forces. In kinematics we are only trying to find expressions for the position, velocity, & acceleration in terms of the variables that specify the state of the device.

  • x = horizontal position of pendulum mass

  • y = vertical position of pendulum mass

  • θ = angle of pendulum (0 = vertical downwards, counter-clockwise is positive)

  • L = length of rod (constant)

We place the origin at the pivot point of the upper pendulum. We regard y as increasing upwards. We indicate the upper pendulum by subscript 1, and the lower by subscript 2. Begin by using simple trigonometry to write expressions for the positions x1, y1, x2, y2 in terms of the angles θ1, θ2. x1 = L1 sin θ1 y1 = −L1 cos θ1 x2 = x1 + L2 sin θ2 y2 = y1L2 cos θ2 The velocity is the derivative with respect to time of the position. x1' = θ1' L1 cos θ1 y1' = θ1' L1 sin θ1 x2' = x1' + θ2' L2 cos θ2 y2' = y1' + θ2' L2 sin θ2 The acceleration is the second derivative.


x1'' = −θ1'2 L1 sin θ1 + θ1'' L1 cos θ1



y1'' = θ1'2 L1 cos θ1 + θ1'' L1 sin θ1



x2'' = x1'' − θ2'2 L2 sin θ2 + θ2'' L2 cos θ2



y2'' = y1'' + θ2'2 L2 cos θ2 + θ2'' L2 sin θ2


Forces in the Double Pendulum

forces in upper mass of double pendulum
upper mass

forces in lower mass of double pendulum
lower mass

We treat the two pendulum masses as point particles. Begin by drawing the free body diagram for the upper mass and writing an expression for the net force acting on it. Define these variables:

  • T = tension in the rod

  • m = mass of pendulum

  • g = gravitational constant

The forces on the upper pendulum mass are the tension in the upper rod T1, the tension in the lower rod T2, and gravity m1 g. We write separate equations for the horizontal and vertical forces, since they can be treated independently. The net force on the mass is the sum of these. Here we show the net force and use Newton's law F = m a.


m1 x1'' = −T1 sin θ1 + T2 sin θ2



m1 y1'' = T1 cos θ1T2 cos θ2m1 g


For the lower pendulum, the forces are the tension in the lower rod T2, and gravity m2 g.


m2 x2'' = −T2 sin θ2



m2 y2'' = T2 cos θ2m2 g


In relating these equations to the diagrams, keep in mind that in the example diagram θ1 is positive and θ2 is negative, because of the convention that a counter-clockwise angle is positive.

Direct Method for Finding Equations of Motion

Now we do some algebraic manipulations with the goal of finding expressions for θ1'', θ2'' in terms of θ1, θ1', θ2, θ2'. Begin by solving equations (7), (8) for T2 sin θ2 and T2 cos θ2 and then substituting into equations (5) and (6).


m1 x1'' = −T1 sin θ1m2 x2''



m1 y1'' = T1 cos θ1m2 y2'' − m2 gm1 g


Multiply equation (9) by cos θ1 and equation (10) by sin θ1 and rearrange to get


T1 sin θ1 cos θ1 = −cos θ1 (m1 x1'' + m2 x2'')



T1 sin θ1 cos θ1 = sin θ1 (m1 y1'' + m2 y2'' + m2 g + m1 g)


This leads to the equation


sin θ1 (m1 y1'' + m2 y2'' + m2 g + m1 g) = −cos θ1 (m1 x1'' + m2 x2'')


Next, multiply equation (7) by cos θ2 and equation (8) by sin θ2 and rearrange to get


T2 sin θ2 cos θ2 = −cos θ2 (m2 x2'')



T2 sin θ2 cos θ2 = sin θ2 (m2 y2'' + m2 g)


which leads to


sin θ2 (m2 y2'' + m2 g) = −cos θ2 (m2 x2'')


Next we need to use a program such as Mathematica to solve equations (13) and (16) for θ1'', θ2'' in terms of θ1, θ1', θ2, θ2'. Note that we also include the definitions given by equations (1-4), so that we have 2 equations (13, 16) and 2 unknowns (θ1'', θ2''). The result is somewhat complicated, but is easy enough to program into the computer.

θ1'' =  

g (2 m1 + m2) sin θ1m2 g sin(θ1 − 2 θ2) − 2 sin(θ1θ2) m2 (θ2'2 L2 + θ1'2 L1 cos(θ1θ2))

L1 (2 m1 + m2m2 cos(2 θ1 − 2 θ2))

θ2'' =  

2 sin(θ1θ2) (θ1'2 L1 (m1 + m2) + g(m1 + m2) cos θ1 + θ2'2 L2 m2 cos(θ1θ2))

L2 (2 m1 + m2m2 cos(2 θ1 − 2 θ2))

These are the equations of motion for the double pendulum.

Numerical Solution

The above equations are now close to the form needed for the Runge-Kutta method. The final step is convert these two 2nd order equations into four 1st order equations. Define the first derivatives as separate variables:

  • ω1 = angular velocity of top rod

  • ω2 = angular velocity of bottom rod

Then we can write the four 1st order equations: θ1' = ω1 θ2' = ω2

ω1' =  

g (2 m1 + m2) sin θ1m2 g sin(θ1 − 2 θ2) − 2 sin(θ1θ2) m2 (ω22 L2 + ω12 L1 cos(θ1θ2))

L1 (2 m1 + m2m2 cos(2 θ1 − 2 θ2))

ω2' =  

2 sin(θ1θ2) (ω12 L1 (m1 + m2) + g(m1 + m2) cos θ1 + ω22 L2 m2 cos(θ1θ2))

L2 (2 m1 + m2m2 cos(2 θ1 − 2 θ2))

This is now exactly the form needed to plug in to the Runge-Kutta method for numerical solution of the system.

MyPhysicsLab – Physics Simulation with Java

     Click on one of the physics simulations below... you'll see them animating in real time, and be able to interact with them by dragging objects or changing parameters like gravity. Get Java software if you don't already have it.
single spring
single spring
double spring
double spring
chaotic pendulum
chaotic pendulum
double pendulum
double pendulum
2D spring
2D spring
double 2D spring
double 2D spring
colliding blocks
colliding blocks
cart with pendulum
cart with pendulum
dangling stick
dangling stick
rigid body collisions
rigid body
sumo wrestling simulation
sumo wrestling
roller coaster
roller coaster

roller coaster with spring
roller coaster
with spring
roller coaster with 2 balls
roller coaster
with 2 balls
roller coaster with flight
roller coaster
with flight
molecule 2
molecule 2
molecule 3
molecule 3
molecule 4
molecule 4
molecule 5
molecule 5
molecule 6
molecule 6


ศัพท์วิทยาศาสตร์ ฉบับราชบัณฑิตสถาน

A  B  D  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  Q  R  S  T  U  V  W  X  Y 

                        ถ                                       อ   

นักวิทยาศาสตร    หน่วย      ศัพท์แผ่นดินไหวตัวอักษรจาก A-M   จาก N-Z

  A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z


หมวด :

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

    ศัพท์เคมี    ศัพท์คณิตศาสตร์   ศัพท์ฟิสิกส์   

       บทความวิทยาศาสตร์      ศัพท์ชีววิทยา      สื่อการสอนฟิสิกส์      ศัพท์วิทยาศาสตร์    

พจนานุกรมเสียง 1   แมว    วัว 1    วัว 2    วัว 3    เหมียว   แกะ     พจนานุกรมภาพการ์ตูน

พจนานุกรมภาพเคลื่อนไหว   ดนตรี  Bullets แบบ JEWEL  พจนานุกรมภาพต่างๆ  ภาพเคลื่อนไหวของสัตว์ต่างๆ  โลกและอวกาศ




ฟิสิกส์ 1(ภาคกลศาสตร์) 

 ฟิสิกส์ 1 (ความร้อน)

ฟิสิกส์ 2 



เอกสารคำสอนฟิสิกส์ 1

ฟิสิกส์  2 (บรรยาย)

แก้ปัญหาฟิสิกส์ด้วยภาษา c  







เอกสารการสอน PDF




ตารางธาตุ(ไทย1)   2  (Eng)











 อะไรเอ่ย ?
















  การเรียนการสอนฟิสิกส์ 1  ผ่านทางอินเตอร์เน็ต

1. การวัด

2. เวกเตอร์

3.  การเคลื่อนที่แบบหนึ่งมิติ

4.  การเคลื่อนที่บนระนาบ

5.  กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

6. การประยุกต์กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

7.  งานและพลังงาน 

8.  การดลและโมเมนตัม

9.  การหมุน  

10.  สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง

11. การเคลื่อนที่แบบคาบ

12. ความยืดหยุ่น

13. กลศาสตร์ของไหล  

14. ปริมาณความร้อน และ กลไกการถ่ายโอนความร้อน

15. กฎข้อที่หนึ่งและสองของเทอร์โมไดนามิก 

16. คุณสมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร

17.  คลื่น

18.การสั่น และคลื่นเสียง

   การเรียนการสอนฟิสิกส์ 2  ผ่านทางอินเตอร์เน็ต  

1. ไฟฟ้าสถิต

2.  สนามไฟฟ้า

3. ความกว้างของสายฟ้า 

4.  ตัวเก็บประจุและการต่อตัวต้านทาน 

5. ศักย์ไฟฟ้า

6. กระแสไฟฟ้า 

7. สนามแม่เหล็ก


9. ไฟฟ้ากระแสสลับ 

10. ทรานซิสเตอร์ 

11. สนามแม่เหล็กไฟฟ้าและเสาอากาศ 

12. แสงและการมองเห็น

13. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ

14. กลศาสตร์ควอนตัม

15. โครงสร้างของอะตอม

16. นิวเคลียร์ 

   การเรียนการสอนฟิสิกส์ทั่วไป  ผ่านทางอินเตอร์เน็ต

1. จลศาสตร์ ( kinematic)

   2. จลพลศาสตร์ (kinetics) 

3. งานและโมเมนตัม

4. ซิมเปิลฮาร์โมนิก คลื่น และเสียง

5.  ของไหลกับความร้อน


7. แม่เหล็กไฟฟ้า 

8.    คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ากับแสง

9.  ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อะตอม และนิวเคลียร์