MyPhysicsLab – Simple Pendulum

This simulation shows a simple pendulum operating under gravity. For small oscillations the pendulum is linear, but it is non-linear for larger oscillations.
You can change parameters in the simulation such as mass, gravity, and friction (damping). You can drag the pendulum with your mouse to change the starting position.  Scroll down to see the math!


คลิกเข้าไปทดลอง  คลิกค่ะ

ทดลองไม่ได้ให้ Download  มา setup ที่เครื่องของท่านก่อนครับ Download จากฟิสิกส์ราชมงคล


Try using the graph and changing parameters like mass, length, gravity to answer these questions about the spring simulation:

  • What is the relationship between angular acceleration and angle?

  • How do mass, length, or gravity affect the relationship between angular acceleration and angle?

  • For small oscillations, how do length or gravity affect the period or frequency of the oscillation?

Physics - Rotational Method

pendulum variables are theta angle and R length
pendulum variables

The pendulum is modeled as a point mass at the end of a massless rod. We define the following variables:

  • θ = angle of pendulum (0=vertical)

  • R = length of rod

  • T = tension in rod

  • m = mass of pendulum

  • g = gravitational constant

We will derive the equation of motion for the pendulum using the rotational analog of Newton's second law for motion about a fixed axis, which is τ = I α where

  • τ = net torque

  • I = rotational inertia

  • α = θ''= angular acceleration

The rotational inertia about the pivot is I = m R2. Torque can be calculated as the vector cross product of the position vector and the force. The magnitude of the torque due to gravity works out to be τ = −R m g sin θ. So we have R m g sin θ = m R2 α which simplifies to

θ'' = − gR sin θ


This is the equation of motion for the pendulum.

Physics - Direct Method

Most students are less familiar with rotational inertia and torque than with the simple mass and acceleration found in Newton's second law, F = m a. To show that there is nothing new in the rotational version of Newton's second law, we derive the equation of motion here without the rotational dynamics. As you will see, this method involves more algebra.

i and j unit vectors

pendulum variables are theta angle and R length

pendulum forces
pendulum forces

We'll need the standard unit vectors, i, j. We use bold and overline to indicate a vector.

  • i = unit vector in horizontal direction

  • j = unit vector in vertical direction

The kinematics of the pendulum are then as follows position = R sin θ iR cos θ j velocity = R θ' cos θ i + R θ' sin θ j
acceleration = R(θ'' cos θ iθ' 2 sin θ i + θ'' sin θ j + θ' 2 cos θ j)
The position is derived by a fairly simple application of trigonometry. The velocity and acceleration are then the first and second derivatives of the position.

Next we draw the free body diagram for the pendulum. The forces on the pendulum are the tension in the rod T and gravity. So we can write the net force as: F = T cos θ jT sin θ im g j

Using Newton's law F = m a and the pendulum acceleration we found earlier, we have T cos θ jT sin θ im g j = m R(θ'' cos θ iθ' 2 sin θ i + θ'' sin θ j + θ' 2 cos θ j) We can write the vector components of the above equation as separate equations. This gives us two simultaneous equations: the first for the i component and the second for the j component. T sin θ = m R(θ'' cos θθ' 2 sin θ) T cos θm g = m R(θ'' sin θ + θ' 2 cos θ) Next we do some algebraic manipulations to eliminate the unknown T. Multiply the first equation by cos θ and the second by sin θ. T sin θ cos θ = m R(θ'' cos2θθ' 2 sin θ cos θ) T cos θ sin θm g sin θ = m R(θ'' sin2θ + θ' 2 sin θ cos θ) Use the first equation to substitute for T cos θ sin θ in the second equation and do a little more algebra to get: θ'' cos2θ + θ' 2 sin θ cos θ = θ'' sin2θ + θ' 2 sin θ cos θ + gR sin θ With the trig identity cos2θ + sin2θ = 1 this simplifies to equation (1) θ'' = − gR sin θ

Physics - Energy Method

There is yet a third way to derive the equations of motion for the pendulum. This is to use the "indirect" energy based method associated with the terms "Lagrangian", "Euler-Lagrange equations", "Hamiltonian", and others.

Numerical Solution

To solve the equations of motion numerically, so that we can drive the simulation, we use the Runge-Kutta method for solving sets of ordinary differential equations. First we define a variable for the angular velocity ω = θ'. Then we can write the second order equation (1) as two first order equations. θ' = ω ω' = − gR sin θ This is the form needed for using the Runge-Kutta method.

Puzzle Answers

Question: What is the relationship between angular acceleration and angle?

Answer: It is a sine wave relationship as given by equation (1): θ'' = − gR sin θ

Question: How do mass, length, or gravity affect the relationship between angular acceleration and angle?

Answer: From equation (1) we see that:

  • Mass doesn't affect the motion at all.

  • The amplitude of the sine relationship is proportional to gravity.

  • The amplitude of the sine relationship is inversely proportional to length of the pendulum.

Question: For small oscillations, how do length or gravity affect the period or frequency of the oscillation?

Answer: For small oscillations we can use the approximation that sin θ = θ. Then the equation of motion becomes θ'' = − gR θ This is a linear relationship. You can see that the graph of acceleration versus angle is a straight line for small oscillations. This is the same form of equation as for the single spring simulation. The analytic solution is \theta(t) = \theta_0 \cos(\sqrt{g/R} \; t) where θ0 is the initial angle and t is time. The period is the time it takes for θ(t) to repeat, so period = \frac{2 \pi}{\sqrt{g/R}} The frequency of oscillation is the inverse of the period: frequency = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{g/R} So we predict that

  • increasing length by 4 times doubles the period and halves the frequency;

  • increasing gravity by 4 times halves the period and doubles the frequency;


MyPhysicsLab – Physics Simulation with Java

     Click on one of the physics simulations below... you'll see them animating in real time, and be able to interact with them by dragging objects or changing parameters like gravity. Get Java software if you don't already have it.
single spring
single spring
double spring
double spring
chaotic pendulum
chaotic pendulum
double pendulum
double pendulum
2D spring
2D spring
double 2D spring
double 2D spring
colliding blocks
colliding blocks
cart with pendulum
cart with pendulum
dangling stick
dangling stick
rigid body collisions
rigid body
sumo wrestling simulation
sumo wrestling
roller coaster
roller coaster

roller coaster with spring
roller coaster
with spring
roller coaster with 2 balls
roller coaster
with 2 balls
roller coaster with flight
roller coaster
with flight
molecule 2
molecule 2
molecule 3
molecule 3
molecule 4
molecule 4
molecule 5
molecule 5
molecule 6
molecule 6


ศัพท์วิทยาศาสตร์ ฉบับราชบัณฑิตสถาน

A  B  D  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  Q  R  S  T  U  V  W  X  Y 

                        ถ                                       อ   

นักวิทยาศาสตร    หน่วย      ศัพท์แผ่นดินไหวตัวอักษรจาก A-M   จาก N-Z

  A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z


หมวด :

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

    ศัพท์เคมี    ศัพท์คณิตศาสตร์   ศัพท์ฟิสิกส์   

       บทความวิทยาศาสตร์      ศัพท์ชีววิทยา      สื่อการสอนฟิสิกส์      ศัพท์วิทยาศาสตร์    

พจนานุกรมเสียง 1   แมว    วัว 1    วัว 2    วัว 3    เหมียว   แกะ     พจนานุกรมภาพการ์ตูน

พจนานุกรมภาพเคลื่อนไหว   ดนตรี  Bullets แบบ JEWEL  พจนานุกรมภาพต่างๆ  ภาพเคลื่อนไหวของสัตว์ต่างๆ  โลกและอวกาศ




ฟิสิกส์ 1(ภาคกลศาสตร์) 

 ฟิสิกส์ 1 (ความร้อน)

ฟิสิกส์ 2 



เอกสารคำสอนฟิสิกส์ 1

ฟิสิกส์  2 (บรรยาย)

แก้ปัญหาฟิสิกส์ด้วยภาษา c  







เอกสารการสอน PDF




ตารางธาตุ(ไทย1)   2  (Eng)











 อะไรเอ่ย ?
















  การเรียนการสอนฟิสิกส์ 1  ผ่านทางอินเตอร์เน็ต

1. การวัด

2. เวกเตอร์

3.  การเคลื่อนที่แบบหนึ่งมิติ

4.  การเคลื่อนที่บนระนาบ

5.  กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

6. การประยุกต์กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

7.  งานและพลังงาน 

8.  การดลและโมเมนตัม

9.  การหมุน  

10.  สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง

11. การเคลื่อนที่แบบคาบ

12. ความยืดหยุ่น

13. กลศาสตร์ของไหล  

14. ปริมาณความร้อน และ กลไกการถ่ายโอนความร้อน

15. กฎข้อที่หนึ่งและสองของเทอร์โมไดนามิก 

16. คุณสมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร

17.  คลื่น

18.การสั่น และคลื่นเสียง

   การเรียนการสอนฟิสิกส์ 2  ผ่านทางอินเตอร์เน็ต  

1. ไฟฟ้าสถิต

2.  สนามไฟฟ้า

3. ความกว้างของสายฟ้า 

4.  ตัวเก็บประจุและการต่อตัวต้านทาน 

5. ศักย์ไฟฟ้า

6. กระแสไฟฟ้า 

7. สนามแม่เหล็ก


9. ไฟฟ้ากระแสสลับ 

10. ทรานซิสเตอร์ 

11. สนามแม่เหล็กไฟฟ้าและเสาอากาศ 

12. แสงและการมองเห็น

13. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ

14. กลศาสตร์ควอนตัม

15. โครงสร้างของอะตอม

16. นิวเคลียร์ 

   การเรียนการสอนฟิสิกส์ทั่วไป  ผ่านทางอินเตอร์เน็ต

1. จลศาสตร์ ( kinematic)

   2. จลพลศาสตร์ (kinetics) 

3. งานและโมเมนตัม

4. ซิมเปิลฮาร์โมนิก คลื่น และเสียง

5.  ของไหลกับความร้อน


7. แม่เหล็กไฟฟ้า 

8.    คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ากับแสง

9.  ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อะตอม และนิวเคลียร์