MyPhysicsLab – Chaotic Pendulum

A damped driven pendulum is often used as a basic example of a chaotic system. For a chaotic system the future behavior is highly dependent on the exact value of the initial conditions. A tiny change in initial conditions can cause huge changes after a short period of time.
You can change parameters in the simulation such as drive amplitude, frequency, mass, gravity, and damping. You can drag the pendulum with your mouse to change the starting position.

คลิกเข้าไปทดลอง  คลิกค่ะ

ทดลองไม่ได้ให้ Download  มา setup ที่เครื่องของท่านก่อนครับ Download จากฟิสิกส์ราชมงคล

The Damped Driven Pendulum

The pendulum is subject to frictional damping, meaning that it will slow down over time if there is no driving force. To see this try setting the drive amplitude to zero, so the only forces are damping and gravity.

The driving force is shown as a curved arrow in the simulation. The length of the arrow corresponds to the amount of torque (twisting force) at a given moment. The direction of the arrow, clockwise or counter-clockwise, shows the direction of this applied force. You can change the amplitude (strength) of the driving force or its frequency (how often it switches directions).

Not all combinations of the parameters (eg. length, gravity, drive amplitude, drive frequency, damping,...) will lead to chaos. Many combinations result in simpler repeating behavior. Click the "single loop" button above to see this. You'll need to wait about a minute for the simulation to settle into the loop.

There is a phenomenon known as period doubling or bifurcation where slowly increasing one of the parameters (such as drive amplitude) causes the number of loops in the repeating behavior to double. Some of the buttons (above) change the drive amplitude gradually so that you see this period doubling occur.

After enough period doublings occur, the system becomes chaotic. Click one of the buttons labelled "chaos" to set the parameters and see this. A curious thing about this chaotic behavior is that it is not entirely random. While you can't predict the exact state of the system at a given time in the future, it is possible to show that the system will follow an elaborate pattern, These patterns are fractals, which are patterns that repeat themselves when you magnify them.


pendulum variables are theta angle and R length
pendulum variables

The pendulum is modeled as a point mass at the end of a massless rod. The damping (friction) is proportional to the angular velocity of the pendulum. There is also an external driving force which provides a periodic torque (twist). Define the following variables:

  • θ = angle of pendulum (0 = vertical)

  • ω = θ' = angular velocity

  • R = length of rod

  • m = mass of pendulum

  • g = gravitational constant

  • b = damping (friction) constant

  • A = amplitude of driving force

  • k = constant related to frequency of driving force

  • t = time in seconds

We will derive the equation of motion for the pendulum using the rotational analog of Newton's second law for motion about a fixed axis, which is


I α = ∑ τ


  • τ = sum of applied torques

  • I = rotational inertia

  • α = θ'' = angular acceleration

The rotational inertia about the pivot is I = m R2. Torque can be calculated as the vector cross product of the position vector and the force.

  • torque due to gravity is τ = −R m g sin θ.

  • torque due to friction is τ = −b ω.

  • torque due to driving force is τ = A cos(k t).

So equation (1) becomes m R2 α = −R m g sin θb ω + A cos(k t) which we can write as

θ'' = − gR  sin θ +  

b θ' + A cos(k t)

m R2

This is the equation of motion for the driven damped pendulum.

Numerical Solution

To solve the equation of motion numerically, so that we can run the simulation, we use the Runge-Kutta algorithm for solving sets of ordinary differential equations. First we define a variable for the angular velocity ω = θ'. We also add an equation for time because time appears explicitly in the equations in the driving force A cos(k t). Then we can write the second order equation above as three first order equations. t' = 1 θ' = ω

ω' = − gR sin θ +  

b ω + A cos(k t)

m R2

This is the form needed for using the Runge-Kutta algorithm.


MyPhysicsLab – Physics Simulation with Java

     Click on one of the physics simulations below... you'll see them animating in real time, and be able to interact with them by dragging objects or changing parameters like gravity. Get Java software if you don't already have it.
single spring
single spring
double spring
double spring
chaotic pendulum
chaotic pendulum
double pendulum
double pendulum
2D spring
2D spring
double 2D spring
double 2D spring
colliding blocks
colliding blocks
cart with pendulum
cart with pendulum
dangling stick
dangling stick
rigid body collisions
rigid body
sumo wrestling simulation
sumo wrestling
roller coaster
roller coaster

roller coaster with spring
roller coaster
with spring
roller coaster with 2 balls
roller coaster
with 2 balls
roller coaster with flight
roller coaster
with flight
molecule 2
molecule 2
molecule 3
molecule 3
molecule 4
molecule 4
molecule 5
molecule 5
molecule 6
molecule 6


ศัพท์วิทยาศาสตร์ ฉบับราชบัณฑิตสถาน

A  B  D  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  Q  R  S  T  U  V  W  X  Y 

                        ถ                                       อ   

นักวิทยาศาสตร    หน่วย      ศัพท์แผ่นดินไหวตัวอักษรจาก A-M   จาก N-Z

  A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z


หมวด :

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

    ศัพท์เคมี    ศัพท์คณิตศาสตร์   ศัพท์ฟิสิกส์   

       บทความวิทยาศาสตร์      ศัพท์ชีววิทยา      สื่อการสอนฟิสิกส์      ศัพท์วิทยาศาสตร์    

พจนานุกรมเสียง 1   แมว    วัว 1    วัว 2    วัว 3    เหมียว   แกะ     พจนานุกรมภาพการ์ตูน

พจนานุกรมภาพเคลื่อนไหว   ดนตรี  Bullets แบบ JEWEL  พจนานุกรมภาพต่างๆ  ภาพเคลื่อนไหวของสัตว์ต่างๆ  โลกและอวกาศ




ฟิสิกส์ 1(ภาคกลศาสตร์) 

 ฟิสิกส์ 1 (ความร้อน)

ฟิสิกส์ 2 



เอกสารคำสอนฟิสิกส์ 1

ฟิสิกส์  2 (บรรยาย)

แก้ปัญหาฟิสิกส์ด้วยภาษา c  







เอกสารการสอน PDF




ตารางธาตุ(ไทย1)   2  (Eng)











 อะไรเอ่ย ?
















  การเรียนการสอนฟิสิกส์ 1  ผ่านทางอินเตอร์เน็ต

1. การวัด

2. เวกเตอร์

3.  การเคลื่อนที่แบบหนึ่งมิติ

4.  การเคลื่อนที่บนระนาบ

5.  กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

6. การประยุกต์กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

7.  งานและพลังงาน 

8.  การดลและโมเมนตัม

9.  การหมุน  

10.  สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง

11. การเคลื่อนที่แบบคาบ

12. ความยืดหยุ่น

13. กลศาสตร์ของไหล  

14. ปริมาณความร้อน และ กลไกการถ่ายโอนความร้อน

15. กฎข้อที่หนึ่งและสองของเทอร์โมไดนามิก 

16. คุณสมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร

17.  คลื่น

18.การสั่น และคลื่นเสียง

   การเรียนการสอนฟิสิกส์ 2  ผ่านทางอินเตอร์เน็ต  

1. ไฟฟ้าสถิต

2.  สนามไฟฟ้า

3. ความกว้างของสายฟ้า 

4.  ตัวเก็บประจุและการต่อตัวต้านทาน 

5. ศักย์ไฟฟ้า

6. กระแสไฟฟ้า 

7. สนามแม่เหล็ก


9. ไฟฟ้ากระแสสลับ 

10. ทรานซิสเตอร์ 

11. สนามแม่เหล็กไฟฟ้าและเสาอากาศ 

12. แสงและการมองเห็น

13. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ

14. กลศาสตร์ควอนตัม

15. โครงสร้างของอะตอม

16. นิวเคลียร์ 

   การเรียนการสอนฟิสิกส์ทั่วไป  ผ่านทางอินเตอร์เน็ต

1. จลศาสตร์ ( kinematic)

   2. จลพลศาสตร์ (kinetics) 

3. งานและโมเมนตัม

4. ซิมเปิลฮาร์โมนิก คลื่น และเสียง

5.  ของไหลกับความร้อน


7. แม่เหล็กไฟฟ้า 

8.    คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ากับแสง

9.  ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อะตอม และนิวเคลียร์