index95

เนื้อหา
วงจรไฟฟ้า กระแสไฟฟ้า ความต้านไฟฟ้า ความจุไฟฟ้า วงจร RC
การเหนี่ยวนำไฟฟ้า ความเหนี่ยวนำไฟฟ้า วงจร RL
พลังงานในตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำ การสั่นทางแม่เหล็กไฟฟ้า ไฟฟ้ากระแสสลับวงจร RC และ RL
วงจร RLC (อนุกรมและขนาน) ประกฏการณ์เรโซแนนซ์ (resonance) ในวงจร RLC

 

ไฟฟ้าและความต้านทาน Current and Resistance
กระแสไฟฟ้า (Electric Current)

กระแสไฟฟ้าคืออัตราการไหลของประจุผ่านจุดหนึ่งๆในวงจรไฟฟ้า ดังนั้นหน่วยของกระแสไฟฟ้าคือ คูลอมบ์/วินาที (coulombs/second) หรือแอมแปร์ (Ampere) อันเป็นที่คุ้นเคยกันแล้ว อักษรย่อที่ใช้คือ A

ถ้าที่จุดหนึ่งที่เราสนใจมีประจุปริมาณ q ไหลผ่านในเวลา t กระแสไฟฟ้า (I) ที่ผ่านจุดนี้มีค่าเป็น

I = q/t

กระแสไฟฟ้าเดินทางจากจุดที่มีศักย์ไฟฟ้าสูงไปยังจุดที่มีศักย์ไฟฟ้าต่ำ ถ้าตัวนำประจุ (charge carrier) เป็นประจุบวก ทิศทางการเคลื่อนที่ของประจุและกระแสไฟฟ้าจะมีทิศทางเดียวกัน ถ้าตัวนำประจุเป็นประจุลบอย่างเช่นอิเล็กตรอน ทิศทางการเคลื่อนที่จะเป็นไปในทางตรงกันข้าม

มาดูกันว่าเมื่อเรามองลึกลงไปในระดับจุลภาค (microscopic scale) มีอะไรเกิดขึ้นบ้าง ในที่นี้เราจะพูดถึงกระแสไฟฟ้าในสารที่มีคุณสมบัติเป็นตัวนำไฟฟ้า (conductor) เท่านั้นเนื่องจากเราใช้สารกลุ่มนี้ในการต่อเชื่อมอุปกรณ์ทางไฟฟ้าต่างๆเป็นส่วนใหญ่ อันที่ง่ายที่สุดที่เราควรนึกได้ก็คือลวดไฟฟ้าที่ทำจากโลหะนั่นเอง

ประจุไฟฟ้าที่เคลื่อนที่อยู่ภายในตัวนำไฟฟ้าโลหะที่ทำหน้าที่นำไฟฟ้าคืออิเล็กตรอน (electron) เราสามารถนึกภาพของกระแสไฟฟ้าให้เป็นการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนทั้งหลายในตัวนำไฟฟ้าด้วยความเร็วค่าหนึ่งซึ่งเราจะเรียกว่า drift velocity

 

ในฟิสิกส์เรามีปริมาณอื่นๆที่ถูกนิยามขึ้นที่เกี่ยวข้องกับกระแสไฟฟ้า

อันแรกคือผลคูณระหว่างประจุต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร n กับประจุ e คือประจุต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรซึ่งเรียกกันว่าความหนาแน่นประจุ (charge density)

ถ้าเรานิยามความหนาแน่นกระแสไฟฟ้า (current density) ว่าเป็นกระแสไฟฟ้าต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่หน้าตัด A จากปริมาณข้างบนเราสามารถเขียน

J = I/A = neVd

นิยามของปริมาณฟิสิกส์เหล่านี้มีประโยชน์สำหรับอธิบายคุณสมบัติของสารต่างๆที่นอกเหนือไปจากตัวนำไฟฟ้าที่กล่าวมาข้างต้น แม้ว่าในสารบางอย่างตัวนำประจุจะไม่ใช้อิเล็กตรอนก็ตาม

ความต้านทาน (resistance)

นิยามของความต้านทานทางไฟฟ้าคือสัดส่วนระหว่างความต่างศักย์ไฟฟ้าระหว่างจุดสองจุดกับกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านสองจุดนั้น (ขอเน้นคำว่าจุดสองจุด)

R = V/I

หน่วยของความต้านทานคือ V/A (volt/ampere) หรือ โอห์ม (ohm)

ตัวนำไฟฟ้าที่ทำหน้าที่ให้ความต้านทานต่อวงจรไฟฟ้า (electric circuit) เรียกว่าตัวต้านทาน (resistor) และมีสัญลักษณ์ในวงจรไฟฟ้า

ดังที่กล่าวไว้ว่าตัวนำไฟฟ้าที่ใช้มากในวงจรไฟฟ้าคือลวดตัวนำที่ทำจากโลหะ (หรือสายไฟฟ้านั่นเอง) การคำนวณค่าความต้านทานของลวดตัวนำไฟฟ้าโลหะสามาระทำได้ดังนี้ ถ้าเราพิจารณาลวดตัวนำที่มีความยาว L และพื้นที่ตัดขวาง (cross sectional area)

 

กฎของโอห์ม (Ohm's Law)

ถ้าปริมาณกระแสไฟฟ้าในตัวนำไฟฟ้าหนึ่งแปรผันโดยตรงกับขนาดของความต่างศักย์ที่ให้กับตัวนำไฟฟ้านั้นจะถือว่าเป็นไปตามกฎของโอห์ม จากความสัมพันธ์ข้างบนที่ใช้ในการคำนวณหาค่าความต้านทาน R=V/I เราจะเขียนอีกแบบได้เป็น

 

การต่อตัวต้านทางและคำนวณหาค่าความต้านทานสมมูล (equivalent resistance)

เราได้รู้จักกับตัวต้านทานและกฎของโอห์มแล้ว ต่อมาเราจะนำตัวต้านทานมาใช้ในวงจรไฟฟ้า องค์ประกอบพื้นฐานที่ถือได้ว่าเป็นวงจรไฟฟ้าแบบที่ง่ายที่สุดประกอบไปด้วยแหล่งกำเนิดไฟฟ้ากับตัวต้านทาน แหล่งกำเนิดไฟฟ้าอันเป็นที่คุ้นเคยที่สุดคงจะเป็นถ่านไฟฉายหรือแบตเตอรี่ วงจรไฟฟ้าที่ประกอบขึ้นจะเป็นวงจรไฟฟ้ากระแสตรง (direct current circuit or DC circuit) สัญลักษณ์ของแบตเตอรี่แสดงไว้ในวงจรข้างล่าง

ในกรณีที่มีการต่อตัวต้านทานมากกว่าหนึ่งตัว เราสามารถคำนวณหาค่าความต้านทานสมมูลซึ่งจะทำหน้าที่เสมือนกับวงจรดั่งเติม การต่อตัวต้านทานสามารถแบ่งได้เป็นสองแบบคือ แบบอนุกรม (series) และแบบขนาน (parallel)

 

 

กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff's Rules)

เป็นการประยุกต์ใช้หลักการอนุรักษ์พลังงาน (conservation of energy) หรือหลักการอนุรักษ์ประจุ (conservation of charge) ในการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า

Junction Rule หรือ current law

ที่จุดใดๆในวงจร ผลรวมของกระแสไฟฟ้าที่เข้าสู่จุดนั้นจะมีค่าเป็นศูนย์ (ให้กระแสเข้าเป็นบวก กระแสออกเป็นลบ)

Loop Rule หรือ voltage law

ผลรวมของศักย์ไฟฟ้าครบรอบจะต้องมีค่าเป็นศูนย์

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ในวงจรสอง loop

ตัวเก็บประจุ (capacitor) และค่าความจุไฟฟ้า (capacitance)

ตัวเก็บประจุประกอบด้วยตัวนำไฟฟ้าสองชิ้นทำหน้าที่ในการเก็บประจุ ลักษณะของตัวเก็บประจุแบบง่ายที่สุดก็คือแบบแผ่นตัวนำคู่ขนาน (parallel plate capacitor)

ความสัมพันธ์ระหว่างประจุไฟฟ้าที่กักเก็บไว้(ในแต่ละแผ่น) Q กับความต่างศักย์ที่ใช้ในการอัดประจุ V เป็นไปดังสมการ

เราเรียกสัดส่วนระหว่าง Q กับ V ว่าความจุไฟฟ้า C (capacitance) และมีหน่วยเป็น coulomb/volt หรือ farad

การต่อตัวเก็บประจุและการคำนวณหาค่าความจุไฟฟ้าสมมูล (equivalent capacitance)

เช่นเดียวกับในกรณีของการต่อตัวต้านทานมากกว่าหนึ่งตัวในวงจรไฟฟ้า เมื่อเรามีตัวเก็บประจุมากกว่าหนึ่งตัวในวงจรไฟฟ้า เราก็สามารถคำนวณหา ค่าความจุไฟฟ้าสมมูล (equivalence capacitance) ได้ในลักษณะของอนุกรมและขนาน

แบบขนาน

       

แบบอนุกรม

   

วงจร RC (RC Circuit)

วงจรอย่างง่ายที่สุดสำหรับใช้ในการต่อวงจรเพื่อเก็บประจุคือวงจรที่ประกอบไปด้วยตัวต้านทานและตัวเก็บประจุต่อเข้ากับแบตเตอรี่ดังแสดงในรูปข้างล่าง

                     

เราสามารถวิเคราะห์วงจรนี้ในเชิงปริมาณได้โดยเริ่มต้นที่การประยุกต์ใช้  loop rule ของ Kirchhoff เราจะได้ว่าเมื่อพิจารณาวงจรปิด(วงจรขวามือ)ครบรอบ ความต่างศักย์ของวงจรต้องเป็นศูนย์

โดย I คือกระแสไฟฟ้าที่ไหลอยู่ในวงจร

คราวนี้เราจะมามองถึงเหตุการณ์ทางไฟฟ้าที่เกิดขึ้นในขณะใดขณะหนึ่ง เมื่อเราพูดถึงคำว่าขณะใดขณะหนึ่งเราก็จะนึกถึง(อย่างน้อยผมนึกถึง) เรื่องราวของ Calculus ที่เรียนกันมาในวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้น ย้อนกลับไปที่นิยามของกระแสไฟฟ้าก่อนเลย เรามีอยู่ว่ากระแสไฟฟ้าคืออัตราการเคลื่อนที่ของประจุไฟฟ้าผ่านพื้นที่หน้าตัดหนึ่งๆ นั่นคือ

ถ้าช่วงเวลาที่เราสนใจเป็นช่วงเวลาสั้นๆหรืออยู่ในลักษณะของขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous) เราสามารถเขียนได้เป็น

หรือเรียงใหม่สวยๆเป็น

ซึ่งสมการนี้ก็มีรูปร่างหน้าตาเหมือนกับที่เราได้ทำมาในการแก้ปัญหา differential equation ในวิชา calculus โดยรูปแบบของคำตอบก็ไม่ยุ่งยากนักและคิดว่ายังน่าจะจำวิธีการหาคำตอบได้ (หรือไม่???) โดยทำดังนี้

จากนั้นเราก็สามารถ integrate ทั้งสองข้างของสมการ

โดย k เป็นค่าคงที่ใดๆ เราเขียนสวยๆอีกทีหนึ่งโดย k' เป็นค่าคงที่ใดๆแทน k

แล้วก็มาถึงจุดสำคัญของการหาค่าคงที่ k' ขอเท้าความนิดหนึ่งในตอนที่เรียน Calculus ว่าหลังจากที่ได้ทำการ integrate แล้วติดค่าคงที่ต่างๆ เราจะสามารถหาค่าคงที่เหล่านี้ได้ก็ต่อเมื่อเรารู้เงื่อนไขเพิ่มเติม โดยส่วนใหญ่ก็จะเป็นเงื่อนไขเริ่มต้น (initial condition) นั่นเองแล้วเงื่อนไขเริ่มต้นของเราคืออะไรในกรณีของวงจร RC นี้?

มองย้อนกลับไปที่วงจร RC แล้วนึกภาพเมื่อเราเริ่มสับสวิตซ์ S ลงว่าเกิดอะไรขึ้น แน่นนอนว่าที่เวลาแรกเริ่มสุดๆ (t=0) ตัวเก็บประจุของเราไม่มีประจุซักตัว ดังนั้น q=0 ที่ t=0 ดังนั้นถ้าเราใช้เงื่อนไขนี้แทนเข้าไปในสมการที่เราเพิ่มจะได้มา เราจะได้ว่า

ดังนั้นคำตอบของสมการเหลืองที่แสดงความสัมพันธ์ของประจุในตัวเก็บประจุเป็นฟังก์ชันของเวลาในรูปที่เสร็จสมบูรณ์คือ

 

โดยถ้าเรามาเขียนกราฟของสมการนี้จะอยู่ในรูปข้างล่างดังแสดงโดยเส้นกราฟสีชมพู

ถ้าเราสนใจว่ากระแสไฟฟ้าเปลี่ยนไปอย่างไรบ้างก็สามารถหาได้โดย

ซึ่งมีลักษณะกราฟเป็นไปตามเส้นประในกราฟข้างบน ซึ่งจะเห็นได้ว่ากระแสไฟฟ้าในวงจรมีค่าลดลงเมื่อเวลาผ่านไป โดยเป็นไปตามที่เราเข้าใจเนื่องจากว่าเมื่อปริมาณของประจุไฟฟ้าในตัวเก็บประจุมีค่าเพิ่มมากขึ้น อิเล็กตรอนตัวใหม่ๆที่วิ่งมาจากแบตเตอรี่ก็ถูกผลักโดยประจุที่อยู่ในตัวเก็บประจุอยู่แล้วมากขึ้นตามไปด้วย ยิ่งนานไปก็ยิ่งลำบาก กระแสไฟฟ้าเลยลดลงตามเวลา

ที่เราพูดถึงผ่านมาทั้งหมดจะเห็นได้ว่าเป็นขั้นตอนที่เริ่มต้นจากตัวเก็บประจุไม่มีประจุอยู่ก่อนแล้วนำมาต่อเข้ากับแบตเตอรี่ นี่ก็คือขั้นตอนการอัดประจุ (charging process) นั่นเอง

ลองพิจารณาที่เวลานานสุดๆ ก็คือเมื่อเวลาเป็นอนันต์ (infinity) ประจุจะมีค่าเป็น

ซึ่งก็ย้อนกลับไปที่ค่าความจุไฟฟ้าสูงสุดที่ตัวเก็บประจุนี้สามารถจะเก็บได้นั่นเอง

ส่วนที่เวลาอนันต์นี้กระแสไฟฟ้าก็มีค่าเป็นศูนย์เพราะที่เวลานี้ประจุไม่มีการเคลื่อนที่อีกแล้ว นั่นก็คืออยู่ในสภาวะเสถียร (equilibrium) นั่นเอง

คราวนี้เรามาดูกรณีที่หลังจากเราเก็บประจุมาเต็มแล้ว พร้อมที่จะนำไปใช้ นั่นก็คือเราจะมาวิเคราะห์กระบวนการปลดปล่อย (discharging process) ว่าจะเป็นอย่างไรบ้าง จริงๆแล้วจากที่เราทำมาทั้งหมดข้างต้นเราก็น่าจะเดาได้ว่ามันน่าจะเป็นอย่างไร

 

หลักการยังเหมือนเดิม เพียงแต่คราวนี้ไม่มีแบตเตอรี่

ต่อไปเราก็เขียนกระแสไฟฟ้าให้อยู่ในรูปของการเปลี่ยนแปลงประจุเหมือนที่แล้วมา ยกเว้นเสียแต่ว่ากรณีนี้กระแสที่ไหลอยู่ในวงจรมาจากการลดลงของประจุไฟฟ้าในตัวเก็บประจุ นั่นคือ

ดังนั้นเราจะได้ differential equation ในรูปของ

แก้สมการในลักษณะเดิม (ลอง integrate ดู) โดยตอนนี้เรามีเงื่อนไขเริ่มต้นที่ว่า ที่เวลาเริ่มต้น t=0 เรามีประจุในตัวเก็บประจุอยู่เต็ม

คำตอบของสมการหรือลักษณะฟังก์ชันของการคายประจุคือ

โดยในที่นี้ผมเปลี่ยนบรรยากาศมาเขียนปริมาณประจุที่เวลาเริ่มต้นเป็น q0 บ้าง

คราวนี้จะคำนวณหากระแสไฟฟ้าก็ไม่ยากแล้ว ทำแบบเดิมคือ differentiate ฟังก์ชันของประจุที่เพิ่งหามาได้ (ลองทำดูแต่อย่าลืมว่ากระแสไฟฟ้าเกิดจากการลดประจุ ดังนั้นต้องมีเครื่องหมายลบเหมือนในตอนแรกที่เราเริ่มวิเคราะห์กระบวนการคลายประจุ) เราได้ว่า

ลักษณะของการเปลี่ยนแปลงก็เป็นไปตามกราฟต่อไปนี้ (ทั้งสองสมการเป็นลักษณะของ exponential decay)

 

สุดท้ายในเรื่องของวงจร RC ก็คือให้สังเกต argument ใน exponential ฟังก์ชัน จะเห็นได้ว่าเป็นสัดส่วนระหว่าง เวลา (t) กับ ปริมาณ RC โดยสัดส่วนนี้ต้องไม่มีหน่วยเพื่อให้เป็นไปตามหลักฟิสิกส์ นั่นก็คือค่า RC มีหน่วยของเวลา นักฟิสิกส์ก็ไม่รอช้าที่จะนิยามปริมาณนี้เนื่องจากว่ามันขึ้นอยู่กับค่าคงที่ (นั่นก็คือค่าความต้านทานกับค่าความจุไฟฟ้า) ของวงจรไฟฟ้าหนึ่งๆ ดังนั้นปริมาณนี้ก็สามาระทำหน้าที่บ่งบอกถึงคุณลักษณะของวงจรไฟฟ้านั้นๆนั่นเอง เราเรียก RC ว่าค่าคงตัวเวลาเชิงความจุ (capacitive time constant) และสัญลักษณ์โดยทั่วไปคือ

จะเห็นได้ว่าวงจรที่มีค่าคงตัวเวลามากก็จะใช้เวลานานในการอัดหรือคายประจุนั่นเอง

 

การเหนี่ยวนำไฟฟ้า (Induction)

เราสามารถเข้าใจการทำงานของตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้าได้โดยใช้หลักการของการเหนี่ยวนำตัวเอง (self-induction) แต่ก่อนที่เราจะไปทำความเข้าใจการเหนี่ยวนำตัวเองและแนะนำตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้า เราควรที่กล่าวย้อนหลังเล็กน้อยไปสู่เรื่องที่มีความสำคัญและเป็นรากฐานสำหรับทำความเข้าใจในหัวข้อนี้ ซึ่งประกอบไปด้วย "กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์" (Faraday's law of induction) และ "กฎของเลนซ์" (Lenz's law)

กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ (Faraday's law of induction)

เมื่อใดที่สภาวะของสนามแม่เหล็กผ่านวงจรไฟฟ้าหนึ่งๆเปลี่ยนไป การเปลี่ยนแปลงนี้จะก่อให้เกิด ความต่างศักย์เหนี่ยวนำ (induced electromotive force (emf)) หรือที่อาจจะถูกเรียกกันว่า แรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนำ* โดยขนาดของความต่างศักย์เหนี่ยวนำแปรผันโดยตรงกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์แม่เหล็ก (magnetic flux) ที่ผ่านวงจรไฟฟ้านั้น เราสามารถเขียนคำอธิบายนี้ในรูปของสมการทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้

โดย e คือความต่างศักย์เหนี่ยวนำ และ FB คือฟลักซ์แม่เหล็กที่ผ่านวงจรที่เราสนใจอยู่

กฎของเลนซ์ (Lenz's law)

เราจะสังเกตว่าสมการชมพูนี้มีเครื่องหมายลบอยู่ เครื่องหมายลบนี้เป็นผลอันเนื่องมาจาก "กฎของเลนซ์" ซึ่งกล่าวไว้ว่า ทิศทางของความต่างศักย์เหนี่ยวนำ (หรือขั้วของความต่างศักย์นั่นเอง) จะเป็นไปในทิศทางที่จะก่อให้เกิดสนามแม่เหล็กที่ต่อต้านการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์แม่เหล็กที่ผ่านวงจรไฟฟ้า

 

 

1. ขนาดของสนามแม่เหล็ก (B) เปลี่ยนไป เราคำนวณขนาดของฟลักซ์แม่เหล็กจากความสัมพันธ์

หรือ

 

2. พื้นที่ของวงจรเปลี่ยนซึ่งอาจจะเนื่องมาจากมุมระหว่างทิศทางของสนามแม่เหล็กกับระนาบของวงจรเปลี่ยนไป (นึกถึงเรื่องไดนาโม)

 

การเหนี่ยวนำตัวเอง (self-inductance)

ถึงจุดนี้เราจะมาพูดถึงเรื่องการเหนี่ยวนำตัวเอง (self-inductance) ในวงจรไฟฟ้าโดยอาศัยหลักการทางแม่เหล็กไฟฟ้าที่เราเพิ่งทบทวนกันมา

 

 

เริ่มต้นจากวงจรพื้นฐานซ้ายมือซึ่งก็คือวงจรแบบที่มีแต่ตัวต้านทาน เรามาดูกันว่าทันทีที่เราสับสวิตซ์ลงเกิดอะไรขึ้นบาง ตอนเราที่เราเรียนเรื่องกฎของโอห์ม เราไม่ได้วิเคราะห์ว่าจริงๆแล้วเกิดอะไรขึ้นในช่วงเวลาทันทีที่เราสับสวิตซ์ลงนี้ เราแค่บอกว่ากระแสไฟฟ้าในวงจรสามารถคำนวณได้จากฎของโอห์ม นั่นคือ I = e/R แต่ความเป็นจริงแล้วกระแสไฟฟ้าไม่ได้กระโดดจากศูนย์ไปเป็น e/R แต่สิ่งที่เกิดขึ้นคือ เมื่อกระแสเพิ่มขึ้นทันทีที่เราสับสวิตซ์ลง สนามแม่เหล็กเนื่องมาจากกระแสไฟฟ้าที่เพิ่มขึ้นนี้ก็มีขนาดมากขึ้นด้วย (นึกถึงเรื่องสนามแม่เหล็กรอบๆลวดตัวนำที่มีกระแสไฟฟ้าไหล กับตอนที่เราใช้กฎมือขวา) ซึ่งทำให้ปริมาณของฟลักซ์แม่เหล็กที่ผ่านลูปวงจรมีค่ามากขึ้น นั่นคือตอนนี้เรามีการเปลี่ยนแปลงฟลักซ์แม่เหล็กเกิดขึ้นในทิศทางพุ่งลงข้างลาง จากเรื่องการเหนี่ยวนำจะมีการเกิดความต่างศักย์เหนี่ยวนำขึ้นในทิศที่ทำให้เกิดสนามแม่เหล็กสวนกับทิศของการเปลี่ยนแปลงฟลักซ์แม่เหล็ก คือจะมีทิศทางที่ทำให้เกิดสนามแม่เหล็กพุ่งขั้นข้างบน ซึ่งความต่างศักย์เหนี่ยวนำนี้จะทำให้เกิดกระแสไหลในทิศทางสวนกับกระแส (กระแสสีน้ำเงิน)อันเนื่องมาจากแบตเตอรี่(กระแสสีเขียว) เราเรียกปรากฏการณ์นี้ว่าการเหนี่ยวนำตัวเอง (self-inductance)

 

ตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้าและความเหนี่ยวนำไฟฟ้า (inductor and inductance)

ต่อมาเราจะแนะนำอุปกรณ์ทางไฟฟ้าอีกอันหนึ่งที่เรียกว่าตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้า (inductor) ซึ่งหลักการทำงานของตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้าก็มาจากเรื่องการเหนี่ยวนำไฟฟ้าตัวเองนั่นเอง เราลองมานึกถึงใหม่ว่าแทนที่จะเป็นวงจรธรรมดาๆวงจรข้างบน เราคิดว่าลวดตัวนำที่อยู่ในวงจนถูกม้วนให้อยู่ในลักษณะของขดลวดโซลินอยด์ที่มีจำนวนรอบ N ว่าจะเกิดอะไรขึ้น ก็จากกฎของฟาราเดย์เหมือนเดิม เราได้ว่าความต่างศักย์เหนี่ยวนำจะมีขนาดเท่ากับ

ในที่นี้เราใส่ subscript L ไว้เพื่อให้รู้ว่าความต่างศักย์ไฟฟ้านี้เนื่องมาจากการเหนี่ยวนำและจะได้ไม่สับสนกับความต่างศักย์เนื่องจากแบตเตอรี่อีกด้วย

เรารู้มาแล้วว่าฟลักซ์แม่เหล็กแปรผันตามขนาดของสนามแม่เหล็กซึ่งสนามแม่เหล็กเองก็มีขนาดแปรผันตามขนาดของกระแสไฟฟ้าในวงจร ดังนั้นอัตราการเปลี่ยแปลงของฟลักซ์แม่เหล็กก็แปรผันโดยตรงกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของกระแสไฟฟ้า เขียนเป็นสมการออกมาจะได้ว่า

โดยค่าคงที่การแปรผัน L ในสมการเราให้ชื่อมันว่าความเหนี่ยวนำ (inductance) ของขดลวด เราเขียนเป็นอีกแบบได้ว่าสำหรับขอลวดโซลินอยด์ N รอบ (เราสมมติในกรณีที่แต่ละรอบของโซลินอยด์มีฟลักซ์แม่เหล็กผ่านเท่ากันเพื่อไม่ให้ชีวิตลำบากจนเกินไป)

สมการสีฟ้านั้นน่าสนใจถ้าเราจัดรูปแบบเสียใหม่ แล้วเทียบดูกับกฎของโอห์มน่าจะทำให้การจำคุณสมบัติของความเหนี่ยวนำไฟฟ้ากับความต้านทานเป็นไปได้ง่ายขึ้น

     

เราเคยมองว่าความต้านทานเป็นคุณสมบัติของตัวต้านทานที่ต่อต้านการไหลของกระแสไฟฟ้า ในทำนองเดียวกันเราก็มองได้ว่าค่าความเหนี่ยวนำไฟฟ้าเป็นคุณสมบัติของตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้าที่ต่อต้านการเปลี่ยนแปลงกระแสไฟฟ้า Beautiful!!!

หน่วยของความเหนี่ยวนำไฟฟ้าก็คือ Volt x Second / Ampere ซึ่งมือชื่อเรียกเฉพาะว่า เฮนรี่ (Henry) เพื่อเป็นเกียรติแก่ Joseph Henry

เนื่องจากว่าเราจะสนใจตัวเหนี่ยวนำที่อยู่ในรูปแบบของขดลวดโซลินอยด์เป็นหลัก ดังนั้นเราใช้วิธีคำนวณหาค่าความเหนี่ยวนำของขดลวดโซลินอยด์มีค่าเป็นตัวอย่างการคำนวณเรื่องการเหนี่ยวนำไฟฟ้าไปเลย

ความเหนี่ยวนำไฟฟ้าของขดลวดโซลินอยด์

ให้ขดลวดโซลินอยด์มีความยาว l และจำนวนรอบเท่ากับ N และสมมติให้ l ยาวกว่ารัศมีของขดลวดโซลินอยด์ (เหมือนสมัยที่เราคำนวณในเรื่องสนามแม่เหล็กเพื่อที่สนามแม่เหล็กภายในโซลินอยด์มีค่าสม่ำเสมอค่าเดียว ชีวิตจำได้ไม่ลำบากจนเกินไป) และให้ภายในของโซลินอยด์เป็นอากาศ

เราคำนวณได้ว่าสนามแม่เหล็กภายในขดลวดมีค่า

โดย n คือจำนวนรอบต่อหนึ่งหน่วยความยาว N/l

ถ้าพื้นที่หน้าตัดของโซลินอยด์มีขนาดเท่ากับ A ฟลักซ์แม่เหล็กที่ผ่านกลางโซลินอยด์เป็น

ดังนั้นความเหนี่ยวนำไฟฟ้าของโซลินอยด์มีค่าเท่ากับ

ซึ่งเราจะเห็นได้ว่าค่าความเหนี่ยวนำไฟฟ้าของโซลินอยด์ขึ้นอยู่กับรูปร่างทางเรขาคณิตของขดลวดตัวนำ

วงจร RL (RL circuit)

คราวนี้ก็มาถึงบทของตัวเหนี่ยวนำในวงจรไฟฟ้ากันบ้าง เราจะพิจารณาเช่นเดียวกับในกรณีของวงจร RC คือในวงจรของเราจะประกอบไปด้วยตัวต้านทานกับตัวเหนี่ยวนำ

 

เราจะทำเหมือนเดิมกับตอนที่เราทำวงจร RC คือเริ่มต้นกันที่กฎของ Kirchhoff แบบโปรดคือ voltage rule

ซึ่งรูปร่างเหมือนกับในกรณีวงจร RC เว้นแต่ว่าในที่นี้สมการเราเป็นสมการของกระแสไฟฟ้า I ลองแก้ differential equation นี้กันดูจะได้คำตอบในลักษณะนี้

โดย k เป็นค่าคงที่การ integrate นั่นเอง เรามีเงื่อนไขเริ่มต้นว่าที่เวลาเริ่มต้นสุดๆ (t=0) กระแสไฟฟ้าในวงจรเป็นศูนย์ ดังนั้นเราได้ว่า k = e ดังนั้นสมการเราในรูปสมบูรณ์คือ

ถ้าเราจะพลอตกราฟก็ไม่มีปัญหา เรารู้อยู่แล้วว่าฟังก์ชันนี้รูปร่างเป็นดังเส้นทึบด้านล่างนี้

คราวนี้มาดูกันบ้างว่าเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเริ่มต้นที่ขดลวดมีกระแสไหลผ่านเต็มที่ แล้วสับสวิตช์ขึ้น? ถึงตอนนี้ก็น่าจะเดาได้ว่ากระแสมันจะต้องลดลงอย่าง exponential แน่ๆ แต่เพื่อความสมบูรณ์ลองเขียนสมการดูว่าได้ดังข้างล่างหรือไม่ สิ่งที่น่าเป็นห่วงที่สุดคือเรื่องของเครื่องหมายในสมการมากกว่าการแก้สมการ differential

คำตอบก็อยู่ในรูป exponential decay

และมีลักษณะกราฟเป็นไปตามเส้นประในกราฟข้างบน

สุดท้านก็ให้สังเกตุ argument ของ exponential function อีกแล้ว คราวนี้ค่าคงที่ของวงจรไฟฟ้าที่เป็นสัดส่วนกับตัวแปรเวลา t คือ L/R ดังนั้นเราก็เรียก L/R นี้ว่าค่าคงที่เวลาของวงจร RL หรือ ค่าคงตัวเวลาเชิงเหนี่ยวนำ (inductive time constant)

พลังงานในตัวเก็บประจุ และตัวเหนี่ยวนำ

เราได้วิเคราะห์วงจรไฟฟ้าเบื้องต้นไปแล้ว คราวนี้เรารองมาดูเรื่องของพลังงานภายในอุปกรณ์ทางไฟฟ้าต่างๆว่าเป็นอย่างไรบ้าง แน่นอนว่าเรารู้กันมานานแล้วว่าพลังงาน(หรือกำลังงานที่เราเห็นบ่อยๆ) ที่เกี่ยวข้องกับตัวต้านทานเขียนออกมาเป็นสมการต่อไปนี้ (แน่นอนว่าเราสนใจเฉพาะตัวต้านทานที่เป็นไปตามกฎของโอห์มเท่านั้น)

ซึ่งอันนี้เป็นพลังงานที่ศูนย์เสียอันเนื่องมาจากตัวต้านทานหนึ่งๆ ไม่ได้เก็บไว้ในตัว

เรามาดูตัวเก็บประจุกันบ้าง เริ่มต้นกันที่ความต่างศักย์คร่อมตัวเก็บประจุคือสัดส่วนของประจุในตัวเก็บประจุกับค่าความจุไฟฟ้า

คราวนี้เราจะอัดประจุเข้าไปในตัวเก็บประจุ ซึ่งกระบวนการก็คือการย้ายประจุจากแผ่นตัวนำข้างหนึ่งของตัวเก็บประจุไปยังอีกข้างหนึ่ง ให้ประจุที่ถูกย้ายมีขนาด dq พลังงานในการย้ายประจุตัวนี้คือ

ในวงจรที่เราศึกษากันมาเริ่มต้นจากไม่มีประจุในตัวเก็บประจุ จนมีประจุเต็ม(ให้เป็น Q) พลังงานทั้งหมดที่ต้องใช้ก็สามารถหาได้โดย integrate สมการข้างบนจาก q=0 จน q=Q

พลังงานทั้งหมดนี้ก็จะถูกสะสมอยู่ในตัวเก็บประจุ ใช้ความสัมพันธ์ C=Q/V เราสามารถเขียนสรุปความสัมพันธ์คำนวณพลังงานในตัวเก็บประจุได้เป็น

เราหันมาพิจารณาตัวเหนี่ยวนำกันบ้าง วิธีที่เห็นว่าจะทำให้เข้าใจได้ดีก็โดยการเริ่มจากสมการเริ่มต้นของวงจร RL ซึ่งเขียนอีกรอบข้างล่าง

ลองคูณตลอดด้วยกระแสไฟฟ้า I เราจะได้

จะเห็นได้ว่าสองเทอมแรกเป็นอะไรที่คุ้นเคยกันมาแล้วจากเรื่องของตัวต้านทาน ซึ่งคือกำลังงานที่ปล่อยออกมาจากแบตเตอรี่และกำลังที่สูญเสียไปให้ตัวต้านทานตามลำดับ เนื่องจากหน่วยของทุกเทอมต้องสอดคล้องกัน เทอมที่สามก็ต้องมีหน่วยเป็นกำลังเช่นกัน ก่อนที่จะไปถึงพลังงานสะสมในตัวเหนี่ยวนำ ถ้าเราจัดรูปสมการข้างบนเป็น

เราสามารถตีความได้ว่าพลังงานที่ออกมาจากแบตเตอรี่ถูกกระจายไปให้กับตัวต้านทาน (ซึ่งสูญเสียเป็นความร้อนไป) กับตัวเหนี่ยวนำ สมการนี้น่าจะช่วงให้เข้าใจเนื้อหามากขึ้น (หรือเปล่า?)

คราวนี้เรามาสนใจเทอมสุดท้ายกัน กำหนดให้พลังงานสะสมในตัวเหนี่ยวนำเป็น U เราจะได้ว่า (อย่าลืมว่าเทอมนี้มีหน่วยเป็นกำลัง ยังไม่ใช้พลังงาน)

พลังงานสะสมทั้งหมดก็คำนวณได้จากการ integrate สมการข้างบนตั้งแต่เวลาเริ่มต้นที่กระแสไฟฟ้าในวงจรเป็น 0 จนกระทั้งกระแสมีค่าสูงสุด I

สรุปคือพลังงานสะสมในตัวเหนี่ยวนำเขียนได้เป็น

การสั่นในวงจรไฟฟ้า (Oscillation in a circuit)

ที่ผ่านมาในวงจรของเรายังไม่มีทั้งตัวเก็บประจุกับตัวเหนี่ยวนำอยู่ด้วยกันภายในวงจรเดียว เราจะลองมาดูกันว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราต่อตัวเก็บประจุที่อัดประจุเอาไว้เต็มเข้ากับตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้า สมมติว่าความต้านทางในวงจรเป็นศูนย์ก่อน ดังในรูปข้างล่าง

เราสามารถลงมือโดยใช้กฎของ Kirchhoff อีกที จะได้ว่า

เช่นเดียวกับในกรณีของการปลดปล่อยประจุในวงจร RC ให้สังเกตว่า q คือประจุในแผ่นเก็บประจุ ส่วน I คือกระแสไฟฟ้าที่ไหลในวงจร โดยกระแส I นี้เกิดจากการลดลงของประจุไฟฟ้า นั่นคือ

ดังนั้นถ้าเราเขียนสมการเริ่มต้นเป็นฟังก์ชันของประจุ q ได้

ก่อนจะแก้สมการ differential นี้ให้สังเกตลักษณะทั่วไปของสมการก่อนว่ามันอยู่ในรูปที่เราผ่านหูผ่านตามาแล้วครั้งหนึ่งตอนเรียนเรื่องกลศาสตร์ของการสั่น (นึกถึงลูกตุ้ม กับมวลติดสปริง) ซึ่งเราเคยมีสมการการเคลื่อนที่เป็น

ลูกตุ้ม
มวลติดสปริง
รูปแบบทั่วไป

คำตอบของสมการเหล่านี้ก็อยู่ในลักษณะของฟังก์ชัน sine/cosine ที่มีความถี่ w นั่นเอง โดยเทียบกันตรงๆ วงจร LC ของเราจะมีความถี่เป็น

และมีคำตอบในเทอมของ w มีลักษณะเป็น โดย Q กับ f เป็นค่าคงที่หาได้จากเงื่อนไขเริ่มต้นเช่นเดียวกับสมการ differential ทั่วไป

และกระแสไฟฟ้าสามารถหาได้โดย differentiate สมการข้างบน

จริงๆแล้วเราสามารถวิเคราะห์การสั่นในวงจร LC โดยใช้หลักการทางพลังงานแทน ซึ่งอาจจะช่วยให้เข้าใจเนื้อหาได้มากขึ้นอีกด้วย เริ่มกันที่พลังงานของตัวเก็บประจุกับพลังงานในตัวเหนี่ยวนำ พลังงานรวมคือ

 

แต่จะเห็นได้ว่าเราไม่มีการศูนย์เสียพลังงานใดๆเพราะในวงจรของเราไม่มีตัวต้านทาน ดังนั้นพลังงานรวมจะต้องมีค่าคงที่ ไม่เปลี่ยนไปกับเวลา นั่นคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของพลังงานเทียบกับเวลาต้องเป็นศูนย์ เราเขียนเป็นสมการคณิตศาสตร์ได้ดังต่อไปนี้

แต่เรารู้ว่า

ดังนั้นเราเขียนสมการใหม่ได้เป็น

หรือสมการการสั่นทางไฟฟ้านั่นเอง

วิธีที่เพิ่งได้ทำให้ดูอาจไม่ช่วยให้เข้าใจภาพมากขึ้นไปเท่าไรนัก(หรืออาจจะปวดหัวกว่าตอนที่เริ่มต้นใช้กฎของ Kirchhoff ด้วยซ้ำ) แต่จุดที่อยากจะอธิบายเพิ่มเติมไม่ใช้วิธีการหาสมการการเคลื่อนที่โดยใช้หลักทางพลังงานอย่างเดียว มันมีคำอธิบายถึงกลไกการทำงานของการสั่นที่น่าสนใจอยู่ด้วยต่างหาก ย้อนกลับไปที่พลังงานรวมของระบบซักนิด

ลองพิจารณาในจังหวะที่สับสวิตซ์ลงทันที่ว่าเกิดอะไรขึ้น(รูปข้างล่าง) ที่เวลาเริ่มต้นเรามีประจุเต็มเปี่ยมในตัวเก็บประจุแต่เนื่องจากเรามีตัวเหนี่ยวนำในวงจรดังนั้นกระแสจะกลายเป็นค่าสูงสุดทันทีไม่ได้ แต่จะค่อยๆเพิ่มจากศูนย์จนเป็นค่าสูงสุด ดังนั้น i=0

ดังนั้นพลังงานรวมทั้งหมดของเรา (U) ตอนนี้มีเทอมเดียวคือเทอมพลังงานของตังเก็บประจุที่มีค่ามากที่สุด (ประจุเต็มเปี่ยม)

เอาใหม่ลองนึกภาพที่เวลาขณะที่ประจุไหลออกจากตัวเก็บประจุจนหมด นั่นก็คือกระแสไฟฟ้าถึงจุดที่มีค่ามากที่สุด (i = I)

ตอนนี้พลังงานในตัวเก็บประจุไม่มีแล้ว แต่พลังงานทั้งหมดถูกเก็บเอาไว้อยู่ในตัวเหนี่ยวนำ

เราเห็นได้ว่าที่เวลาที่ประจุในตัวเก็บประจุมีค่ามากที่สุด พลังงานทั้งหมดก็อยู่ที่ตัวเก็บประจุ เมื่อตอนที่กระแสไฟฟ้ามากที่สุดพลังงานก็จะเทไปที่ตัวเหนี่ยวนำมากที่สุด และแน่นอนว่าในช่วงเวลาระหว่างสองจุดที่ยกมาข้างต้น พลังงานก็ควรจะมีการแบ่งกันระหว่างพลังงานที่เก็บในตัวเก็บประจุกับที่เก็บในตัวเหนี่ยวนำ อันเป็นที่มาของสมการพลังงาน(สมการแดงสด) นั่นเอง

ยังไม่จบเรื่องราวทั้งหมด มาดูกันต่อว่าพอกระแสไฟฟ้าในวงจรมีค่ามากที่สุดแล้ว ประจุในตัวเก็บประจุก็หมดแล้ว มันจะไม่เกิดอะไรอีกต่อไปก็คงจะเป็นไปไม่ได้เพราะว่ากระแสไฟฟ้าเต็มวงจรอยู่ดีๆจะหายไปเฉยๆเป็นเรื่องที่ไม่ควรจะเกิดขึ้นเอาซะเลย แน่นอนว่ากระแสก็ต้องมีต่อไป แต่ตอนนี้ไม่มีประจุที่ส่งมาจากตัวเก็บประจุอีกแล้ว ดังนั้นกระแสเริ่มลดลง(สถานการณ์คล้ายกับตอนที่เราสับสวิตซ์ในวงจร RL หลังจากที่กระแสไฟฟ้ามีค่าสูงสุดนั่นเอง) แต่ก็อีกแล้วที่กระแสจะกลายเป็นศูนย์ทันทีอีกไม่ได้เนื่องจากมีตัวเหนี่ยวนำนั่นเอง สรุปสิ่งที่เกิดขึ้นคือ กระแสยังมีต่อไปแต่มีขนาดลดลง เมื่อมีกระแสอยู่ก็แสดงว่าตัวเก็บประจุก็โดยอัดประจุอีกที แต่คราวนี้ในขั้วตรงกันข้าม (นั่นคือแผ่นตัวนำแผ่นล่างมีประจุเป็นบวก แผ่นบนเป็นลบบ้าง) จนประจุเต็มตัวเก็บประจุอีกครั้ง เราก็กลับไปที่สถานการณ์เหมือนกับที่เวลา t=0 แต่คราวนี้ขั้วของตัวเก็บประจุมีทิศตรงกันข้าม ตัวเก็บประจุก็เริ่มคายประจุอีกครั้ง วนเวียนกันจนเป็นวัฏจักรครบรอบ เราสามารถสรุปรอบการสั่นทางวงจรไฟฟ้าได้เป็นดังรูปข้างล่าง และเราสามารถเรียกการสั่นนี้ว่าเป็นการสั่นแม่เหล็กไฟฟ้าได้แล้วเพราะว่าพลังงานที่เก็บอยู่ในตัวเก็บประจุนั้นถูกเก็บอยู่ภายในสนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นคู่ขนาน ส่วนพลังงานที่เก็บภายในตัวเหนี่ยวนำถูกเก็บไว้ในสนามแม่เหล็ก โดยมีการถ่ายทอดพลังงานระหว่างกันและกันไปมา

การสั่นในลักษณะนี้สามารถเปรียบเทียบได้กับการสั่นของมวลติดสปริงได้อย่างดี โดยเราสามารถเทียบได้ว่าระยะกระจัด x คือประจุ q มวล m คือค่าความเหนี่ยวนำ L และค่าคงที่ของสปริง k คือ 1/C

วงจร RLC และการสั่นในวงจร RLC

เราจะไม่ลงในรายละเอียดของการสั่นในวงจร RLC มากนัก แต่เราควรจะเข้าใจว่าเกิดอะไรขึ้นกับวงจร LC ที่มีความต้านทางอยู่ในวงจร

เราจะใช้หลักการของพลังงานเข้ามาอธิบาย เรามองภาพง่ายๆเลยว่าตอนนี้เรามีความต้านทานอยู่ ดังนั้นจะต้องมีการศูนย์เสียพลังงานในรูปของความร้อนนั่นเอง (ถ้าเราอยากจะเปรียบเทียบกับมวลติดกับสปริง ก็คิดว่าตอนนี้พื้นมีความเสียดทานแล้ว) ดังนั้นเราควรจะมีภาพในใจแล้วว่าการสั่นที่เคยเป็นการสั่นแบบไม่มีที่สิ้นสุด (sine หรือ cosine ฟังก์ชันมีแอมปลิจูดคงที่ไปเรื่อยๆ) ต้องกลายเป็นการสั่นที่มีแอมปลิจูดกานสั่นน้อยลงๆ จนในที่สุดก็หยุดเมื่อพลังงานในระบบหมดลง ถ้าจะเขียนออกมาเป็นสมการก็ไม่ยาก พลังงานที่สูญเสียในรูปความร้อนเราก็รู้อยู่แล้วจาก

โดยเราจะใช้ความสัมพันธ์ระหว่างกระแสกับความต้านทาน ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงพลังงานในระบบจะเป็น

ที่ต้องมีเครื่องหมายลบก็เพราะมีการศูนย์เสียพลังงาน แทนค่า U เข้าไปเหมือนกับข้างบนเราจะได้ว่า

ซึ่งถ้าเรียนการแก้สมการ differential มาแล้วจะแก้สมการนี้ได้ แต่ตอนนี้เราไม่สนใจวิธีแก้สมการ เรามาดรูปแบบของคำตอบกันเลยว่าเป็นไปอย่างที่เราคาดไว้หรือไม่ คำตอบอยู่ในรูป

โดย

:ซึ่งเราสามารถแบ่งประเภทการสั่นเป็นสามประเภทเหมือนกับกรณีของกลศาสตร์การสั่น ขึ้นอยู่กับขนาดของความต้านทาน R เทียบกับค่า L-C ในวงจร นั่นคือ

  • Underdamped oscillation เมื่อ wd เป็นค่าบวก

  • Critically damped oscillation เมื่อ wd เป็นศูนย์

  • Overdamped oscillation เมื่อ wd เป็นจำนวนจินตภาพ (complex number)

กราฟด้านล่างแสดงให้เห็นความแตกต่างของการสั่นทั้งสามประเภทนี้

 

ไฟฟ้ากระแสสลับ (AC Circuit)

แหล่งกำเนิดไฟฟ้ากระแสสลับที่กำเนิดมาจากเครื่องกำเนิดไฟฟ้าสามารถเขียนเป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ได้เป็น

โดย V คือแอมปลิจูดของความต่างศักย์ และ w คือความถี่เชิงมุม มีความสัมพันธ์กับความถี่ (f) หรือคาบ (T) ดังนี้

สัญลักษณ์ที่ใช้ลูกศรแสดงเฟสของกราฟ sine หรือ cosine จะเรียกว่า phasor diagram ซึ่งจะมีประโยชน์ในการคำนวณวงจร AC ต่อไป

ตัวต้านทางในวงจร AC

เราสามารถคำนวณหากระแสไฟฟ้า ณ เวลาใดเวลาหนึ่งในวงจรได้จากกฎของโอห์ม

เราจะเห็นได้ว่าการเปลี่ยนแปลงค่าความต่างศักย์มีจังหวะเดียวกับการเปลี่ยนแปลงของกระแสไฟฟ้า นั่นคือความต่างศักย์กับกระแสไฟฟ้ามีความต่างเฟสเท่ากับศูนย์

ตัวเก็บประจุในวงจร AC

เราเริ่มต้นจากความสัมพันธ์หลักของค่าความจุไฟฟ้ากับความต่างศักย์และประจุไฟฟ้า

ซึ่งจากประจุไฟฟ้า q เราสามารถหาขนาดของกระแสไฟฟ้าได้ว่า

ค่ากระแสไฟฟ้าสูงสุดในกรณีนี้มีค่า

จะเห็นได้ว่าเราเขียนออกมาให้อยู่ในรูปแบบเดียวกับกฎของโอห์มในวงจร DC เราเรียก Xc ว่า capacitive reactance ซึ่งมีหน่วยเป็นโอห์มเช่นเดียวกับตัวต้านทาน

ตัวเหนี่ยวนำในวงจร AC

คราวนี้เรามารองดูในกรณีของตัวเหนี่ยวนำกันบ้าง จากกฎของ Kirchhoff อีกที

integrate สมการนี้จะได้ฟังก์ชันของกระแสไฟฟ้าเป็น

ในทำนองเดียวกันในเรื่องของการนิยาม reactance เราจะได้ว่า inductive reactance คือ

วงจร RLC Circuit และเรโซแนนซ์ในวงจร RLC

เรามีวิธีการต่อ R-L-C ในวงจร AC หลักๆสองแบบเช่นเดียวกับการต่อในวงจร DC คือการต่อแบบอนุกรมและการต่อแบบขนาน เรามาดูกันว่าเราสามารถประยุกต์ใช้ phasor ได้อย่างไร เรามาเริ่มต้นกันที่วงจรอนุกรมก่อนเลย

RLC แบบอนุกรม

เรารู้ว่าในวงจรอนุกรม กระแสไฟฟ้าต้องเท่ากันตลอดเพราะกระแสไม่มีทางแยกไปไหน ส่วนความต่างศักย์คร่อมแต่ละอุปกรณ์รวมเข้าด้วยกันต้องมีค่าเท่ากับความต่างศักย์ที่เราได้จากแหล่งกำเนิด อย่างไรก็ตามเราจะบอกว่า V = VR + VL + VC ง่ายๆเลยยังไม่ได้เพราะเรารู้มาแล้วว่าที่กระแสไฟฟ้าเวลาหนึ่งๆ ความต่างศักย์อาจมีเฟสที่ต่างกันในกรณีของ L และ C ดังนั้นเราต้องรวมกันโดยคำนึงถึงเฟสของมันด้วย ในกรณีของวงจรอนุกรมเราทำโดยเริ่มจากที่เรารู้มาแล้วว่ากระแสไฟฟ้าในวงจรเปลี่ยนแปลงพร้อมๆกันหมดทั้งวงจร ดังนั้นเราจะใช้ไฟฟ้าเป็น"ตัวอ้างอิง"

ถึงตอนนี้เราจะหาความต่างศักย์ลัพธ์ โดยเทียบกับในเรื่องของเวกเตอร์สิ่งที่เราต้องรู้ประกอบไปด้วยขนาด(แอมปลิจูด) และทิศทาง(เฟส) เริ่มกันที่การคำนวณหาขนาด เราหาขนาดรวมทั้งในแนวแกน x กับ y แล้วก็มารวมกันโดยใช้ Pythagorean theorem

ส่วนเฟสลัพธ์เราสามารถหาได้จากมุมระหว่างขนาดรวมในแนวแกน y กับแกน x ซึ่งสัมพันธ์กันโดยฟังก์ชัน tan

ถ้าเราอยากจะเขียนโดยใช้ค่า reactance  แทน

เราก็สามารถเขียนสมการข้างบนใหม่ได้เป็น

สาเหตุที่เราเขียนในลักษณะนี้ก็เพื่อให้เห็นว่ามันมีลักษณะที่คล้ายกับในวงจร DC อีกแล้ว (V=IR) ดังนี้

ซึ่ง Z ก็เสมือนกับความต้านทานรวมในวงจร DC แต่คราวนี้เป็นการรวมในวงจร AC ซึ่งก็คือรวมค่า reactance ทั้งหลายนั่นเอง เราเรียก Z ว่า impedance

ส่วนเฟสก็ไม่ต่างกันถ้าเราจะเขียนในรูปของ reactance ซึ่งจะได้ว่า

RLC แบบขนาน

เราลองมาพิจารณาวงจร RLC ในกรณีที่ต่อแบบขนานกันบ้าง ลักษณะวงจรจะอยู่ในลักษณะด้านล่าง

คราวนี้ค่าความต่างศักย์คร่อม R L C มีการเปลี่ยนแปลงไปพร้อมๆกัน ส่วนกระแสไฟฟ้าในวงจรมีค่าเท่ากับกระแสไฟฟ้ารวมจากกระแสที่ผ่าน R L C ดังนั้นเราสามารถทำการคำนวณในลักษณะเดียวกับวงจร RLC อนุกรม เว้นแต่ว่าเราใช้ความต่างศักย์ v เป็นตัวอ้างอิงแทน ดังแผนภูมิข้างล่าง

 

กระแสไฟฟ้ารวมกับเฟสลัพธ์ก็คำนวณได้เป็น

แล้วก็ทำต่อไปถ้าเราต้องการจะเขียนค่าต่างๆในรูปของ reactance

ก็ไม่เป็นปัญหา เราจะได้ว่ากระแสไฟฟ้าแอมปลิจูดเป็น

 

 

โดยเราก็จะเรียกตัวหารในเทอมสุดท้ายว่า impedance ของวงจร RLC แบบขนานนี้

...

หรือจะเขียนสวยๆให้มีลักษณะคล้ายคลึงกับการคำนวณค่าความต้านทานรวมเมื่อต่อแบบขนานก็ได้ว่า

Beautiful!!!

เฟสของกระแสไฟฟ้าลัพธ์เทียบกับความต่างศักย์จากแหล่งกำเนิดในรูปของ reactance ก็ง่ายแล้ว

เรโซแนนซ์ในวงจร RLC

เรามาวิเคราะห์วงจร RLC กันอีกซักหน่อย เรารู้กันมาแล้วว่า resistance, reactance หรือ impedance เป็นค่าที่เสมือนกับตัวต้านทางกระแสไฟฟ้าในวงจร AC แต่ว่าค่า XC และ XL ขึ้นอยู่กับความถี่ของแหล่งกำเนิดไฟฟ้าด้วย ดังนั้นลองมองย้อนกลับไปที่ค่า impedance ของทั้งในกรณีอนุกรมและขนาน(เขียนอีกรอบข้างล่าง)

 

เราจะเห็นว่ายิ่งค่า Z น้อยเท่าไร กระแสไฟฟ้ารวมในวงจรก็จะมากขึ้นเท่านั้น ลองมาดูกรณีของอนุกรม Z จะน้อยที่สุดเมื่อ XL-XC มีค่าเป็นศูนย์ ส่วนในกรณีของวงจรขนาน Z จะน้อยที่สุดเมื่อ 1/XC-1/XL เท่ากับศูนย์ ทั้งสองกรณีมีเงื่อนไขเหมือนกันคือ

เขียนในรูปของความถี่เชิงมุม w ได้ว่า

โดยเราจะเรียกความถี่นี้ว่า "ความถี่เรโซแนนซ์" (resonance frequency)

โดยที่ความถี่นี้กระแสไฟฟ้ารวมที่ไหลในวงจรจะมีค่ามากที่สุด ส่วนที่ความถี่แตกต่างไปจากค่านี้ ปริมาณกระแสไฟฟ้าก็จะลดน้อยลงทั้งสองด้าน โดยกราฟความสัมพันธ์ระหว่างกระแสไฟฟ้าในวงจรกับความถี่เชิงมุมจะมีลักษณะดังกราฟด้านล่าง

โดยเราสามารถเข้าใจปรากฏการณ์นี้ได้ดีขึ้นเมื่อเรานำกราฟความสัมพันธ์ของ impedance มาพิจารณา

ยิ่งค่า R ใหญ่ขั้นเท่าไร ค่าความโค้งของ impedance จะยิ่งน้อยลง (แอ่งจะมีลักษณะตื้นๆ) ทำให้ความคม(หรือความแหลมของกราฟนั่นเอง)ของค่าความถี่เรโซแนนซ์ลดลง จริงๆแล้วเรามี factor ที่บ่งบอกถึงความคมนี้ซึ่งเราเรียกว่า Q factor

ตัวอย่าง  RLC in AC circuit

 

 

 

ศัพท์วิทยาศาสตร์ ฉบับราชบัณฑิตสถาน

A  B  D  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  Q  R  S  T  U  V  W  X  Y 

                        ถ                                       อ   

นักวิทยาศาสตร    หน่วย      ศัพท์แผ่นดินไหวตัวอักษรจาก A-M   จาก N-Z

  A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

คำศัพท์คณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ

หมวด :

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

    ศัพท์เคมี    ศัพท์คณิตศาสตร์   ศัพท์ฟิสิกส์   

  บทความวิทยาศาสตร์      ศัพท์ชีววิทยา      สื่อการสอนฟิสิกส์      ศัพท์วิทยาศาสตร์

พจนานุกรมเสียง 1   แมว    วัว 1    วัว 2    วัว 3    เหมียว   แกะ     พจนานุกรมภาพการ์ตูน

พจนานุกรมภาพเคลื่อนไหว   ดนตรี  Bullets แบบ JEWEL  พจนานุกรมภาพต่างๆ  ภาพเคลื่อนไหวของสัตว์ต่างๆ  โลกและอวกาศ

อุปกรณ์และเครื่องมือต่างๆ

 

  หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ 

ฟิสิกส์ 1(ภาคกลศาสตร์) 

 ฟิสิกส์ 1 (ความร้อน)

ฟิสิกส์ 2 

กลศาสตร์เวกเตอร์

โลหะวิทยาฟิสิกส์

เอกสารคำสอนฟิสิกส์ 1

ฟิสิกส์  2 (บรรยาย)

แก้ปัญหาฟิสิกส์ด้วยภาษา c  

ฟิสิกส์พิศวง

สอนฟิสิกส์ผ่านทางอินเตอร์เน็ต

ทดสอบออนไลน์

วีดีโอการเรียนการสอน

หน้าแรกในอดีต

แผ่นใสการเรียนการสอน

เอกสารการสอน PDF

สุดยอดสิ่งประดิษฐ์

   การทดลองเสมือน 

บทความพิเศษ 

ตารางธาตุ(ไทย1)   2  (Eng)

พจนานุกรมฟิสิกส์ 

 ลับสมองกับปัญหาฟิสิกส์

ธรรมชาติมหัศจรรย์ 

 สูตรพื้นฐานฟิสิกส์

การทดลองมหัศจรรย์ 

ดาราศาสตร์ราชมงคล

  แบบฝึกหัดกลาง 

แบบฝึกหัดโลหะวิทยา  

 แบบทดสอบ

ความรู้รอบตัวทั่วไป 

 อะไรเอ่ย ?

ทดสอบ(เกมเศรษฐี) 

คดีปริศนา

ข้อสอบเอนทรานซ์

เฉลยกลศาสตร์เวกเตอร์

คำศัพท์ประจำสัปดาห์

 

  ความรู้รอบตัว

การประดิษฐ์แของโลก

ผู้ได้รับโนเบลสาขาฟิสิกส์

นักวิทยาศาสตร์เทศ

นักวิทยาศาสตร์ไทย

ดาราศาสตร์พิศวง 

การทำงานของอุปกรณ์ทางฟิสิกส์

การทำงานของอุปกรณ์ต่างๆ

 

  การเรียนการสอนฟิสิกส์ 1  ผ่านทางอินเตอร์เน็ต

1. การวัด

2. เวกเตอร์

3.  การเคลื่อนที่แบบหนึ่งมิติ

4.  การเคลื่อนที่บนระนาบ

5.  กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

6. การประยุกต์กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

7.  งานและพลังงาน 

8.  การดลและโมเมนตัม

9.  การหมุน  

10.  สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง

11. การเคลื่อนที่แบบคาบ

12. ความยืดหยุ่น

13. กลศาสตร์ของไหล  

14. ปริมาณความร้อน และ กลไกการถ่ายโอนความร้อน

15. กฎข้อที่หนึ่งและสองของเทอร์โมไดนามิก 

16. คุณสมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร

17.  คลื่น

18.การสั่น และคลื่นเสียง

   การเรียนการสอนฟิสิกส์ 2  ผ่านทางอินเตอร์เน็ต  

1. ไฟฟ้าสถิต

2.  สนามไฟฟ้า

3. ความกว้างของสายฟ้า 

4.  ตัวเก็บประจุและการต่อตัวต้านทาน 

5. ศักย์ไฟฟ้า

6. กระแสไฟฟ้า 

7. สนามแม่เหล็ก

 8.การเหนี่ยวนำ

9. ไฟฟ้ากระแสสลับ 

10. ทรานซิสเตอร์ 

11. สนามแม่เหล็กไฟฟ้าและเสาอากาศ 

12. แสงและการมองเห็น

13. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ

14. กลศาสตร์ควอนตัม

15. โครงสร้างของอะตอม

16. นิวเคลียร์ 

   การเรียนการสอนฟิสิกส์ทั่วไป  ผ่านทางอินเตอร์เน็ต

1. จลศาสตร์ ( kinematic)

   2. จลพลศาสตร์ (kinetics) 

3. งานและโมเมนตัม

4. ซิมเปิลฮาร์โมนิก คลื่น และเสียง

5.  ของไหลกับความร้อน

6.ไฟฟ้าสถิตกับกระแสไฟฟ้า 

7. แม่เหล็กไฟฟ้า 

8.    คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ากับแสง

9.  ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อะตอม และนิวเคลียร์ 

 

 

กลับเข้าหน้าแรก

กลับหน้าแรกโฮมเพจฟิสิกส์ราชมงคล

ครั้งที่

เซ็นสมุดเยี่ยม

ภาพประจำสัปดาห์